Avogadro sayısı
Vikipedi, özgür ansiklopedi
Git ve: kullan, ara
Avogadro sayısı veya Avogadro sabiti, bir elementin bir molündeki atom sayısı ya da bir bileşiğin bir molündeki molekül sayısıdır. 1 mol yani 12 gr Karbon12 elementindeki atom sayısı deneysel olarak hesaplanarak 6.02214199x1023 [1] bulunmuştur. Sayı, bu alandaki katkılarından dolayı İtalyan bilim adamı Amedeo Avogadro'nun (1776–1856) adı ile anılır.

Tarihçe [değiştir]
Amedeo Avogadro1811 yılında Avogadro, aynı sıcaklık ve basınç koşulları altında eşit hacimdeki gazların, türleri ne olursa olsun aynı sayıda molekül içereceğini keşfetti. Bu atomların büyüklüğünü ve ağırlığını isabetli bir şekilde ölçmeyi sağlıyordu.

Herhangi bir maddedeki molekül sayısını ilk kez, Avusturyalı lise öğretmeni Johann Josef Loschmidt (1821–1895) tarafindan hesaplanmıştır. Loschmidt 1865 yılında, o zamanlar çok yeni olan kinetik moleküler teori yardımıyla, 1 cm³ gaz içerisinde normal sıcaklık ve basınç şartlarında yaklaşık 2.6x1019 molekül olduğunu hesaplamıştır. Bu değer Loschmidt sabiti olarak bilinir.

Daha sonra, herhangi bir maddedeki molekül sayısının hesaplanışı ile ilgili çeşitli yöntemler ortaya atılmıştır. Örneğin; Einstein, mikroskobik parçacıkların mükemmel koşullar altında (sabit sıcaklık ve basınç değerlerinde) dahi sürekli hareket halinde oluşunun sebebi olan, parçacıklar üzerinde sıvının kendi moleküllerinin uyguladığı şoklar konusunda matematiksel bir teori ortaya atmıştır. Bu konudaki ilk deneysel kanıt Alman fizikçi Seddig tarafından yapılmıştır. Bundan sonra bu problemi ele alan iki bilim adamından Perrin (diğeri Svedberg'dir.) araştırmaları sonucunda Einstein'ın teorisinin deneyle mükemmel bir şekilde uyuştuğunu göstermiştir.
Jean Baptiste Jean Perrin (1926 Nobel adayı), Avogadro sayısı terimini 1909 yılında bir makalesinde kullanmış ve bu terimi ilk kez kullanan insan olmuştur.[

e sayısı

Vikipedi, özgür ansiklopedi

Git ve: kullan, ara

e sayısı veya Euler sayısı, matematik, doğal bilimler ve mühendislikte önemli yeri olan sabit bir reel sayıdır. Bu sabit için birbirine eşdeğer pek çok tanım verilebilir; bunlardan bazıları aşağıda sıralanmıştır. e sayısı aşkın bir sayıdır, dolayısıyla irrasyoneldir, ve tam değeri sonlu sayıda rakam kullanılarak yazılamaz. Yaklaşık değeri şöyledir:

e sayısı doğal logaritmanın tabanıdır.

Konu başlıkları

[gizle]

1 Tarih

2 Eşdeğer tanımlar

3 Uygulamalar

3.1 Birleşik faiz problemi

3.2 Bernoulli denemeleri

3.3 Şapka problemi

4 Kaynaklar

5 Dış bağlantılar

Tarih [değiştir]

e sabitine dolaylı olarak ilk değinen, İskoç matematikçi John Napier olmuştur. Napier, 1618'de logaritmalar üzerine yayımladığı bir kitabın ekinde, e sabitini kullanarak bazı hesaplar yapmıştır, fakat sabitin kendisiyle fazla ilgilenmemiştir. e sayısını gerçek anlamda ilk keşfeden Jakob Bernoulli olmuştur. Bernoulli, e sayısını 1683'te birleşik faiz problemini incelerken keşfetmiş ve bu sayının yaklaşık değerini hesaplamıştır. Sabite e ismini veren ise İsviçreli matematikçi Leonhard Euler'dir. Euler ilk olarak 1731'de Christian Goldbach'a yazdığı bir mektupta bu sabitten "e sayısı" diye bahsetmiştir. Euler öncesi ve sonrasında bu sabit için b ve c harfleri de kullanılmışsa da, sonuçta kabul edilen isim e olmuştur.

Euler e sayısını, virgülden sonra 23. basamağına kadar hesaplayabilmiştir. Günümüzde ise e sayısının milyarlarca basamağı bilinmektedir. e^,nin irrasyonel bir sayı olduğu Euler tarafından, aşkın bir sayı olduğu ise Fransız matematikçi Charles Hermite tarafından kanıtlanmıştır.

Eşdeğer tanımlar [değiştir]

Beşinci tanıma göre, 1 < x < e için y = 1/x eğrisinin altındaki alan 1'e eşittir.

1. e sayısı, aşağıdaki diferansiyel denklemi sağlayan yegâne pozitif reel sayıdır:

$frac{d}{dx}e^x = e^x,.$

2. e sayısı, aşağıdaki diferansiyel denklemi sağlayan yegâne pozitif reel sayıdır:

$frac{d}{dx}log_e x = frac{1}{x},.$

Buradaki $log e x$ ifadesi, e tabanlı logaritmayı temsil etmektedir.

3. e sayısı, aşağıdaki limite eşittir:

$e = lim_{n rightarrow infty} left(1 + frac{1}{n} right)^n ,.$

4. e sayısı, aşağıdaki sonsuz toplama eşittir:

$e= sum_{n=0}^infty frac{1}{n!} = frac{1}{0!} + frac{1}{1!} + frac{1}{2!} + frac{1}{3!} + ldots$

Buradaki n! ifadesi, n faktöriyeli temsil etmektedir: n! = 1 × 2 × 3 × ... × n.

5. e sayısı, aşağıdaki integral denklemini sağlayan yegâne pozitif reel sayıdır:

$int_1^e frac{1}{x},dx = 1,.$

Uygulamalar [değiştir]

Birleşik faiz problemi [değiştir]

Jakob Bernoulli, e sabitini birleşik faiz problemini incelerken keşfetmiştir. Bu problem, basit bir örnekle anlatılabilir. Elinde 1 lirası olan bir yatırımcı, parasını yılda %100 faiz veren bir bankaya yatırırsa, bir sene sonra 2 lirası olacaktır. Diğer yandan, bu yıllık faiz, %50 – %50 şeklinde yılda iki kez işlerse, yatırımcının yıl sonundaki parası (1 + 1/2)² = 2,25 lira olacaktır. Benzer şekilde, eğer faiz yılda dört kez %25 oranında işlerse, yatırımcının yıl sonundaki parası (1 + 1/4)⁴ = 2,4414... lira olacak, faiz her ay %8,333... oranında işlerse yıl sonundaki para (1 + 1/12)¹² = 2,6130... lira olacaktır. Faizin işleme süresini daha da kısaltırsak, her hafta işleyen faiz yıl sonunda 2,6925... lira, her gün işleyen faiz yıl sonunda 2,7145... lira verecektir.

Faizin işleme süresi kısaldıkça, yıl sonundaki para 2 ve 3 arasında belli bir değere yakınsamaktadır. Yukarıdaki 3 numaralı tanımdan da görüldüğü üzere, yakınsanan değer e sayısıdır.

Bernoulli denemeleri [değiştir]

e sayısı olasılık kuramında da çeşitli şekillerde karşımıza çıkar. Örneğin bir kumarcı, kazanma şansı 1/n olan bir oyunu n kere oynarsa, yaklaşık 1/e (%36,787...) ihtimalle hiçbir seferde kazanamayacaktır. n ne kadar büyükse, hiç kazanmama ihtimali 1/e^,ye o kadar yakın olur.

Kumarcının n seferde k kere kazanma olasılığı, binom dağılımına göre aşağıdaki değere eşittir:

$binom{n}{k} left(frac{1}{n}right)^k left(1 - frac{1}{n}right)^{n-k}.$

Buna göre, n seferde k = 0 kere kazanma olasılığı, (1 - 1/n)ⁿdir, ve bu ifade, n büyüdükçe 1/e^,ye yaklaşır.

Şapka problemi [değiştir]

Bir restorana giren ve girişte şapkalarını vestiyere bırakan n tane müşteri düşünelim. Vestiyer, şapkalara etiket takmayı unutunca hangi şapkanın hangi müşteriye ait olduğunu unutuyor, ve çıkışta şapkasını isteyen her müşteriye rastgele bir şapka seçip veriyor. Bu durumda, n müşteriden hiçbirinin kendi şapkasını almaması olasılığı, aşağıdaki toplama eşittir:

$p_n = 1-frac{1}{1!}+frac{1}{2!}-frac{1}{3!}+cdots+(-1)^nfrac{1}{n!}.$

Müşteri sayısı n büyüdükçe, bu toplam 1/e değerine yaklaşacaktır.

Faktöriyel

Vikipedi, özgür ansiklopedi

Git ve: kullan, ara

Faktöriyel, matematikte, sağına ünlem işareti konulmuş sayıya verilen isim, daha genel olan Gamma Fonksiyonu'nun tam sayılarla sınırlanmış özel bir durumudur.

Faktöriyel fonksiyonu verilen pozitif tamsayının kendisinden önceki bütün tamsayılarla 1'e inilinceye kadar çarpılması sonucunda elde edilen çarpımı gösterir.

Örnek olarak,

gösterilebilir. Sıfır pozitif veya negatif bir sayı olmamasına rağmen faktöriyeli tanım olarak bire eşittir. 0!=1.

Faktöriyelleri içeren ifadeler birçok niceliğin seri açılımlarında, iki terimli teoremde, permütasyonlarda ve kombinasyonlarda, olasılık kuramında ortaya çıkar.

faraday sabiti

Vikipedi, özgür ansiklopedi

Git ve: kullan, ara

Faraday sabiti fizik ve kimyada, bir mol elektronun sahip olduğu elektrik yükü olarak tanımlanır. Bu ad, İngiliz bilim insanı Michael Faraday'ın adına ithafen verilmiştir. Elektrolitik sistemlerde, elektrot yüzeyinde toplanan kimyasal madde miktarını hesaplamada kullanılır.

Simgesi F olup;

şeklindeki eşitlikle ifade edilebilir. Bu eşitlikte N_A Avogadro sayısı (yaklaşık 6.02 x 10²³ mole⁻¹) ve q da, bir elektronun yükünün büyüklüğüdür (elektron başına yaklaşık 1.602 x 10⁻¹⁹ Coulomb).

F nin değeri ilk olarak, belirli bir süre boyunca belirli bir akımın geçtiği bir elektrokimyasal reaksiyonda toplanan gümüşün ağırlığından bulunmuştur. Bu değer Avogadro sayısını hesaplamada kullanılmıştır. F ve dolayısıyla N_A yı daha hassas olarak belirlemeye ilişkin araştırmalar sürmektedir

Fermat'ın Küçük Teoremi

Vikipedi, özgür ansiklopedi

Git ve: kullan, ara

Fermat'ın küçük teoremi p asal sayı ise ve obeb(p,a)=1 yani a ve p aralarında asal ise

$a^{p-1} equiv 1 pmod{p},!$

olduğunu belirten teoremdir.

Teorem asallık testlerinde ve bilgisayarda büyük sayılarla işlemlerde kullanılır.

Fermat'nın Son Teoremi

Vikipedi, özgür ansiklopedi

Git ve: kullan, ara

Fransız matematikçi Pierre de Fermat'nın 17. yüzyılda öne sürdüğü fakat kanıtı ancak 1994 yılında İngiliz matematikçi Andrew Wiles tarafından verilen teoremdir.

İfadesinin ortaokul matematik bilgileriyle anlaşılacak kadar yalın olmasına karşılık öne sürülmesiyle kanıtlanması arasında geçen çok uzun sürede pek çok ünlü matematikçi tarafından üzerinde uğraşılıp da kanıtlanamamış olmasıyla matematik tarihinde öne çıkmıştır.

Kısaca, eğer n ikiden büyük bir tamsayıysa, ve x, y, z sayıları pozitif tamsayılar ise

ifadesinin sağlanamayacağını ifade eder. İfadenin n=1 ve n=2 durumlarında kolayca sağlanabileceğini görmek zor değildir. Biraz açmak gerekirse, n=2 durumu ünlü Pisagor Teoremi ile yakından ilişkili olup x=3, y=4, z=5 veya x=5, y=12, z=13 tamsayı üçlüleriyle kolayca sağlanır.

Bu sanının (artık teorem demek gerekiyor elbette) kanıtı için pek çok matematikçi uğraşmış ancak başarısız olmuşlardır. Ancak yakın tarihlere kadar çok büyük n değerleri için bu sanının doğrulanmasına devam edilmiştir. Bu tür kısmi ilerlemelere yönelik çabalar, hiç beklenmedik bir zamanda İngiliz matematikçi Andrew Wiles'ın bir kanıt bulduğunu duyurmasıyla son bulmuştur. Ne var ki kısa sürede Andrew Wiles'ın kanıtında bir hata bulunmuş ve Andrew Wiles uzun ve yorucu bir çabanın sonunda 1994 yılında uzmanlarca doğruluğu kabul gören bir kanıt vermeyi başarmıştır. Aslında Wiles'ın kanıtı Fermat'nın son teoreminden daha güçlü bir ifadenin, Şimura-Taniyama Konjektürü'nün de doğruluğunu göstermiştir. Söz konusu kanıt Sayılar Teorisi'nin çok gelişkin tekniklerini kullanır.

Goldbach hipotezi

Vikipedi, özgür ansiklopedi

Git ve: kullan, ara

Sayılar teorisindeki en eski Matematik'te çözümsüz problemlerden biridir.

Sanı:

Goldbach'ın orijinal sanısı (üçül varsayım) Euler'e 7 Haziran 1742'de yazdığı mektupta şöyle ifade ediliyor:

...En azından $2$ 'den büyük her sayı üç asal sayının toplamıdır...

Goldbach burada 1 sayısını da asal kabul etmektedir. (Bu konvansiyon artık terkedilmiştir.) (1 sayısı niçin asal değildir?: Çünkü bir asal sayı başka bir asal sayıyı asla tam bölmez. Oysa 1 sayısı diğer asalları da tam böler.)

Kuvvetli ikil varsayım, $3$ 'ten büyük her çift doğal sayının iki asal sayının toplamı olarak ifade edilebileceğini öne sürer. Faber and Faber adlı yayın şirketi bu sanının doğru olduğunu 20 Mart 2000 ve 20 Mart 2002 arasındaki 2 yıllık sürede kanıtlayabilecek ilk kişiye 1.000.000 Amerıkan doları ödül vaadetmiştir, fakat sanı halen ispatsız olduğu üzere bu ödülü de kazanan olmamıştır.

İkil sanı şöyledir:

ve için ${2n=p_1+p_2,!}$ olacak şekilde ${p_1,!}$ ve ${p_2,!}$ asal sayıları vardır. ( ${p_1=p_2,!}$ olabilir)

Her bir Goldbach bölüntüsü olarak adlandırılır.

Daha zayıf olan ikinci sanı sadece $8$ 'den büyük olan her tek doğal sayının en az 3 asal sayının toplamı olduğudur. Erdös ve Moser ve 'nin asal olma koşulunu kaldırarak bu sanının daha genel anlamda doğru olup olmadığını araştırmışlardır

Googol, 1 sayısının arkasında 100 tane sıfır olan sayıdır. Googol kelimesi, Edward Kasner adındaki Amerikalı matematikçinin yeğeni Milton Sirotta tarafından üretilmiştir.

1 googol = 1.0 × 10100

1 googol = 10,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000

Bir googol, bilinen evrenin 1072 ile 1087 arasında olduğu tahmin edilen temel parçacık sayısından daha büyüktür. Bir googolplex de "biri takip eden googol kadar sıfır"dan oluştuğu için, evrende bilinen tüm madde kağıt ve mürekkebe ya da sabit diske dönüşse bile, bu sayıyı ondalık sistemle yazmak ya da kaydetmek mümkün olmayacaktır.

Diğer bir yönden, googolplex sayısının okunamayacak 1 puntoluk karakterlerle basıldığını varsayalım. Her birinin genişliği 0,3514598 mm olan Tex tipi 1 puntoluk karakterlerle googolplex sayısını yazmak için yaklaşık 3,5 x 1096 metreye gereksinim olacaktır. Bilinen evren çapının 7,4 x 1026 metre olduğu tahmin edilmektedir ki, bu sayıyı yazmak için gerek duyulan uzunluk, bilinen evren çapının 4,7 x 1069 katı kadardır. Böyle bir sayıyı yazmak için harcanacak zaman da bu işi anlamsız kılar: bir kişinin iki saniyede bir rakam yazabildiği varsayılırsa, googolplex sayısını yazmak bilinen evren yaşının 1,1 x 1082 katı kadar zaman alacaktır.

Dolayısıyla, fiziksel dünyada googolplex ile yakından kıyaslanabilecek sayı örnekleri vermek zordur. Saf bir kuantum durumunun kütle çekimsel olarak bir kara deliğe çökmesi ve o kara deliğin de karma bir termal radyasyon durumuna tamamen buharlaşması sonucunda evrenimizden bilgi kaybolabileceği önermesi, 1976'da Stephen Hawking tarafından yapılmıştır. Bu önerme ile ilgili olarak kuantum durumlarını ve kara delikleri analiz eden fizikçi Don Page, güneşin kütlesine sahip kara deliklerde bilginin kaybolup kaybolmadığını deneysel olarak belirleyebilmek üzerine şöyle yazmıştır: "karadelik buharlaştıktan sonra geriye kalan son yoğunluk matrisini kabaca belirleyebilmek için, 'den fazla ölçüm gerekecektir" [1]. Yine Page, başka bir makalesinde, kütlesi Andromeda Galaksisine eşdeğer bir kara delikteki durumların sayısının bir googolplex kadar olacağını yazmıştır [2].

Soyut matematikte ise bir googolplex, tetrasyon, Knuth'un yukarı ok gösterimi, Steinhaus-Moser gösterimi ya da Conway zincirleme ok gösterimi gibi gösterimlerle özel olarak tanımlanmış olağanüstü büyük sayılar kadar büyük değildir. Bahsi geçen yöntemlerle daha az sembol kullanılarak daha büyük sayılar yazılabilir. Örneğin,

sayısı çok daha büyüktür ve
tetrasyon kullanarak ve yukarı ok gösterimi kullanarak da diye ifade edilebilir.

Bazı sayı dizileri çok çabuk büyürler. Örneğin, Ackermann sayılarının ilk ikisi 1 ve 4'tür ama üçüncüsü 'tür ki, bu da 7 trilyondan fazla 3 içeren bir üs kulesidir [3].

Çok daha büyük bir sayı ise, genellikle "bugüne dek bir matematiksel kanıt için kullanılagelmiş en büyük sayı" olarak tanımlanan Graham sayısıdır. Bu sayıyı ifade etmek için çok özel gösterim biçimleri kullanılır çünkü üstel ifadesindeki rakamların sayısı bile bilinen evrendeki temel parçacıkların sayısından fazladır.

Bir googolplex içiçe geçmiş üslü gösterim sayesinde kısaca yazılabilen devasa bir sayıdır. Tetrasyon gibi diğer yöntemler daha büyük sayıları daha kısaca ifade eder. Doğal olarak akla gelen soru şudur: En büyük sayıyı ifade etmek için en az sembolü kullanan prosedür nedir? Bir Turing makinesi bu prosedür kavramını formalize eder ve bir "busy beaver" olası en büyük sayıyı yazan n büyüklüğünde bir Turing makinesi olsun [4]. n ne kadar büyük olursa "busy beaver"da o kadar karmaşık olur dolayısyla da o kadar da büyük sayı yazabilir. n=1, 2, 3, 4 ve 5 için yazılabilen sayılar o kadar da büyük değildir ancak 2006'da yapılan araştırmalar n=6 için "busy beaver"ın en az kadar büyük bir sayı yazabileceğini göstermiştir. [5]. Yedinci "busy beaver"ın bir googolplex yazıp yazamayacağı hâlâ cevapsız kalmış bir sorudur.

Işık hızı

Vikipedi, özgür ansiklopedi

Git ve: kullan, ara

Işığın ve tüm diğer elektromanyetik dalgaların boşluktaki hızı 299.792 kilometresaniye dir Latince celeritas (hız) ismine adden "c" ile ifade edilir. Işığın hızı sadece vakum ortamdayken c 'ye eşittir. Herhangi bir maddenin içinden geçerken (örneğin su, cam vb.) hızı c 'den küçüktür. Işık hızının boşluk için formülü :

$c = frac{1}{sqrt{mu_0 epsilon_0}}$

ki burada,

$mu_0=4 pi times 10^{-7} N / A^2$ , boşluğun manyetik geçirgenliği ve

$epsilon_0 = 8,854187817 times 10^{-12} C^2 / N-m^2$ , boşluğun elektrik geçirgenliği

olarak alınır. Buradan boşluktaki ışık hızı hesaplanmış olunur. Diğer ortamlar için ışık hızı şu şekilde formüle edilmektedir:

$c' = frac{1}{sqrt{mu_0 mu_r epsilon_0 epsilon_r}}$

ki burada, $μ r$ ortamın bağıl manyetik geçirgenliği ve $ε r$ ortamın bağıl elektrik geçirgenliği olarak gösterilmiştir.

Kaprekar sabiti

Vikipedi, özgür ansiklopedi

Git ve: kullan, ara

Hintli matematikçi Kaprekar (1905-1986) tarafından tanımlanan , dört basamaklı sayılara en fazla yedi kez aşağıdaki işlemler uygulandığında ortaya çıkan sabit 6174 sayısı.

İşlemler , tüm basamakları aynı sayıdan oluşmayan (2222 gibi - ilk adımda sıfır sonucunu verecektir) ve üç basamağı aynı sayı olup dördüncü basamağı bu sayıdan büyük ya da küçük olmayan (1112 veya 5565 gibi - ilk adımda 999 sayısını verecektir) dört basamaklı sayılara uygulandığında en fazla yedi adımda sıfır veya 6174 sabit sayısını verir.

Yukarıdaki şartlara uygun dört basamaklı bir sayı alınır.
Sayının basamaklarını büyükten küçüğe ve küçükten büyüğe doğru sıralayarak iki adet dört basamaklı sayı elde edilir.
Elden edilen sayılardan büyükten küçüğü çıkarılır.
2. adım tekrar edilir.

En fazla yedi adımda sıfır ya da 6174 sabit sayısı elde edilecek ve kısır döngüye girilecektir.

Örnek:

$6544 - 4456 = 2088$

$8820 - 0288 = 8532$

$8532 - 2358 = 6174$

$7641 - 1467 = 6174$

"http://tr.wikipedia.org/wiki/Kaprekar_sabiti"'dan alındı

Kaprekar sayıları

Vikipedi, özgür ansiklopedi

Git ve: kullan, ara

Kaprekar sayıları , 1949 yılında Hintli matematikçi Kaprekar tarafından tariflenen sayılardır.

n basamaklı bir t Kaprekar sayısının karesi alınıp sağdaki n basamağı solda kalan n-1 basamağa eklendiğinde sonuç yine t sayısını verir.

Örnek:

55 , iki basamaklı bir sayıdır.

55² = 3025 , sağdan iki basamak 25 , soldan iki basamak 30.

Bu iki sayının toplamı 30+25=55 yani sayının kendisidir.

1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, 999, 2223, 2728, 4879 sayıları da diğer bazı Kaprekar sayılarıdır.

"http://tr.wikipedia.org/wiki/Kaprekar_say%C4%B1lar%C4%B1"'dan alındı

Planck sabiti

Vikipedi, özgür ansiklopedi

Git ve: kullan, ara

Konu başlıkları

[gizle]

1 Değeri

2 Parçacığın enerjisi ve hc ifadesi

2.1 Örnek

3 Kuantum mekaniği

4 Ayrıca bakınız

Değeri [değiştir]

Planck sabiti, kuantum mekaniğinde aksiyonun temel birimi (kuvantası) olarak düşünülebilecek bir sabittir. Adını fizikçi Max Planck'tan alır. Değeri Jul-saniye cinsinden:

$h=6.626 0693(11) times10^{-34} mbox{J}cdotmbox{s}$ değerindedir. Ayrıca $hbar=frac{h}{2pi}$ sabitine de indirgenmiş Planck sabiti denir.

Parçacığın enerjisi ve hc ifadesi [değiştir]

Frekansı ν olan bir fotonun enerjisi formülüyle hesaplanabilir. Fotonun hızı c olduğu için frekansı $nu=frac{c}{lambda}$ şeklinde yazılabilir. Bu sayede enerji ifadesi:

$E=frac{hc}{lambda}$ haline dönüşür. Böylece dalga boyu bilinen bir ışığın enerjisinin hızlıca hesaplanabilmesi için hc ifadesinin hesaplanmış büyüklüğü

veya

$hc=1974cdot10^{-19} mbox{J}mbox{nm}$ kullanılır.

Örnek [değiştir]

Yeşil ışık 510 nanometre dalga boyuna sahiptir. Yeşil ışığın bir fotonunun enerjisi $E=frac{1234mbox{eV}mbox{nm}}{510 mbox{nm}}=2.42 mbox{eV}$ olarak hesaplanır.

Kuantum mekaniği [değiştir]

Planck sabiti kuantum mekaniğinde etki edilen en küçük birimi temsil eder, diğer bir deyişle süreksizliğin birimidir. Kuantum mekaniğinde açısal momentumun x,y ve z bileşen operatörlerinin komutatörleri döndürme grubu $SO 3$ ve ona homomorfik olan $SU 2$ gruplarının Lie cebrini sağlar. Planck sabitinin en küçük etki birimi olduğu buradan da görülebilir.

en genelinden $e_{ijk},$ permütasyon sembolü olmak üzere

$[L_i,L_j]=e_{ijk}ihbar L_k$ ' dir.

P-sel sayılar

Vikipedi, özgür ansiklopedi

Git ve: kullan, ara

p-sel sayılar, rasyonel sayıların p-sel norma göre genişletilmesiyle elde edilirler, p-sel sayılar cismi geleneksel olarak $mathbb{Q}_p$ simgesiyle gösterilir. Her p-sel sayı, p bir asal sayı ve k bir tam sayı olmak üzere $zinmathbb{Q}_p$ için

$z=pmsum_{i=k}^infty a_i cdot p^i$

şeklinde, $a i$ katsayılarının 0 ile p-1 arasında değer aldığı bir açılıma sahiptir. Eğer bu açılımda sıfırdan farklı ilk $a i$ katsayısı için gözleniyorsa, z sayısına p-sel tamsayı denir. p-sel tamsayılar halkası ise $mathbb{Z}_p$ işaretiyle gösterilir.

p-sel sayılar Alman matematikçi Hensel tarafından kurgulanmış ve Hasse, Tate gibi matematikçiler tarafından geliştirilmiştir. En önemli uygulamaları sayılar kuramı alanındadır.

Ayrıca Bakınız [değiştir]

p-sel norm

Başvurular ve Kaynaklar [değiştir]

[1] Matematik Dünyası Dergisi, 2004-III (Güz) sayısı kapak konusu, sayfa 9-46.

[2] Fernando Q. Gouvêa, p-adic Numbers, An Introduction, Second Editon, Springer,1991.

i , v , x , l , c , d , m ... bu rakamların kendine has matematiksel birleştirilmeleriyle de sayılar oluşturulur...
ii , ii , iii , iv , vi ,ix , il , ic , id , im , mdciv ...
(manush, 22.03.2001 20:59)#341122 !?

pek kullanışlı olmadığından, " 0 "ın keşfi ile tarih olan bi sayı sistemi.
(manush, 22.03.2001 21:04)#341125 !?

ondalık olmayan, beşlik benzeri sistem
civciv=104 104
(dreamer, 10.07.2001 16:48)#519124 !?

i=1, v=5, x=10, l=50, c=100, d=500, m=1000 daha büyüğünü bilmiyorum, bilen varsa beri gelsin.
(kitkat, 10.07.2001 18:13 ~ 23:38)#519376 !?

m'den sonra sayilarin yerini tutan (i haric) temel harf-rakamlarin ustune tumleyen yada active lowu gosteren i$aretten cizildigi zaman sayinin 1000 kati olarak alinmasina neden olur. orn:
_
x = 10000
(gaahl, 26.12.2001 20:42)#868830 !?

eski saat kulelerinde görülebilicek sayi sistemi
(yunique, 19.02.2002 01:51)#1034800 !?

seri şeklinde üretilen eserlerde daha estetik gözüküp daha kolay ayırdedilebildiğinden ve seri hissi verdiğinden olsa gerek tercih edilen rakamlar.
(iron, 26.11.2002 00:49 ~ 00:50)#1867320 !?

kibrit copleri* ile yapilan yuzlerce matematik oyununa malzeme olmustur bu rakamlar.. misal bir kibrit copunun yerini degistirip sunu dogru bir esitlige cevir denir: xviii=iii.. ya da: vii=i..
(preacher, 26.11.2002 03:06)#1868300 !?

er esab ürenen soparın ilkmektepte akim olması gereken sayi düzeni.*
(sillypoet, 26.11.2002 03:13 ~ 03:14)#1868332 !?

i = 1
v = 5
x = 10
l = 50
c = 100
d = 500
m = 1000
(altinda cizgi) v = 5000
(altinda cizgi) x = 10.000
(altinda cizgi) l = 50.000
(altinda cizgi) c = 100.000
(altinda cizgi) d = 500.000
(altinda cizgi) m = 1.000.000

1 = i (primus)
2 = ii (secundas)
3 = iii (tertius)
4 = iv (quartus)
5 = v (quintus)
6 = vi (sextus)
7 = vii (septimus)
8 = viii (octavus)
9 = ix (nonus)
10 = x (decimus)
11 = xi (undecimus)
12 = xii (duodecimus)
13 = xiii (tertius decimus)
14 = xiv (quartus decimus)
15 = xv (quintus decimus)
16 = xvi (sextus decimus)
17 = xvii (septimus decimus)
18 = xviii (duodevicesimus
19 = xix (undevicesimus)
20 = xx (vicesimus)
21 = xxi (vicesimus primus)
22 = xxii (vicesimus secundas)
23 = xxiii (vicesimus tertius)
24 = xxiv (vicesimus quartus)

30 = xxx (tricesimus)
40 = xl (quadragesimus)
50 = l (quinquagesimus)
60 = lx (sexagesimus)
70 = lxx (septuagesimus)
80 = lxxx (octogesimus)
90 = xc (nonagesimus)
100 = c (centesimus)
101 = ci (centesimus primus)
102 = cii (centesimus secundas)

200 = cc (ducentesimus)
300 = ccc (trecentesimus)
400 = cd (quadringentesimus)
500 = d (quingentesimus)
600 = dc (sescentesimus)
700 = dcc (septingentesimus)
800 = dccc (octingentesimus)
900 = cm (nongentesimus)
100 = m (millesimus)
1001 = mi (millesimus primus)
1002 = mii (millesimus secundas)
1002 = miii (millesimus tertius)

1900 = mcm (millesnongentesimus)
1999 = mcmxcix
2000 = mm (bismillesimus) century
2001 = mmi (bismillesimus primus)
2002 = mmii (bismillesimus secundas)
2003 = mmiii (bismillesimus tertius)
2004 = mmiv (bismillesimus quartus)

2100 = mmc = (bismilles centesimus)

3000 = mmm (tresmillesimus)
4000 = mmmm (quadramillesimus)
5000 = v (quinmillesimus) (v'nin altinda cizgi)
6000 = vm (sesmillesimus) (v'nin altinda cizgi)
7000 = vmm (septuamillesimus) (v'nin altinda cizgi)
8000 = vmmm (octomillesimus) (v'nin altinda cizgi)
9000 = mx (nonamillesimus) (x'in altinda cizgi)
10.000 = x (decies millesimus) (x'in altinda cizgi)
10.001 = xi (decies millesimus primus) (ilk x'in altinda cizgi)
10.010 = xx (decies millesimus decimus) (ilk x'in altinda cizgi)
11.000 = xm (undecim millesimus) (ilk x'in altinda cizgi)
12.000 = xmm (duadecim millesimus) (ilk x'in altinda cizgi)
12.100 = xmmc ( " " centum) (x'in altinda cizgi)
12.505 = xmmdv ( " " guingenti quinque) (x'in altinda cizgi)

50.000 = l (quinqua millesimus) (l'nin altinda cizgi)
50.100 = lc (quinqua millesimus centum) (l'nin altinda cizgi)
50.500 = ld (quinqua illesimus quingenti) (l'nin altinda cizgi)

60.000 = lx (sexa millesimus) (l ve x'in altinda cizgi)
60.010 = lmx (sexa millesimus decem) (l'nin altinda cizgi)
60.100 = lmc (sexa millesimus centum) (l'nin altinda cizgi)

80.004 = lmmmiv (octo millesimus quartus) (l'nin altinda cizgi)
90.099 = mcxcix (nona millesimus nonus) (ilk c'nin altinda cizgi)

100.000 = c (centies millesimus) (c'nin altinda cizgi)
100.001 = ci (centum millesimus primus) (c'nin altinda cizgi)
100.010 = cx (centum millesimus decem) (c'nin altinda cizgi)

200.000 = cc (ducenta millesimus) (iki c'nin altinda cizgi)
200.100 = ccc (ducenta millesimus centum) (ilk iki c'nin altinda cizgi)
200.510 = ccdx ( " " quindecem) (iki c'nin altinda cizgi)

500.000 = d (quingenti millesimus) (d'nin altinda cizgi)
600.000 = dc (sescenti millesimus) (d ve c'nin altinda cizgi)
600.606 = dcdcvi ( " " sescenti sex) (ilk d ve c'nin altinda cizgi)
700.000 = dcc (sepcenti millesimus) (d'nin ve c'lerin altinda cizgi)

1.000.000 = m (mille millesimus) (m'nin altinda cizgi)
1.100.100 = mcc ( " " centum miliacentum) (m ve ilk c'nin altinda cizgi)
1.300.000 = mccc ( " " trecenti mille) (m ve c'lerin altinda cizgi)

2.000.000 = mm (duamilia millesimus) (iki m'nin altinda cizgi)
2.500.500 = mmdd ( " " quingenti milia quingenti) (m'lerin ve ilk d'nin altinda cizgi)
(mervan, 16.03.2003 05:52)#2514969 !?

roma rakamları.
(letter soul, 27.06.2003 03:16)#3024357 !?

iyi bir cevirici icin: http://www.novaroma.org/via_romana/numbers.html

ayrica (bkz: iiii/#2550881)
(huger, 06.07.2003 22:47 ~ 10.05.2004 04:41)#3067814 !?

(bkz: roman rakamlari)
(godot, 01.09.2003 19:38)#3286172 !?

xxx = 100 denebilir ayni zamanda...
(portakal, 08.04.2004 22:57)#4065576 !?

güzel bir çevirtgeç: http://www.guernsey.net/~sgibbs/roman.html
(netizen, 27.09.2004 19:44)#5871567 !?

ilkokul doneminin korkulu ruya adaylarindan biri. zaten sag ne sol ne biraz muallak velette; bir de o tarafina koyunca cikar, bu tarafina koyunca ekle; oradan en fazla uc tane koy ama buradan en fazla belki de bir adet cikar; harfler hangi sayilara denk geliyor aklinda tut; onlari da karistirma, gibi bir velet icin belki de pek komplike olabilecek bircok basamaktan ibaret bir iskence yonteminin alet edevati.
(mafipaluk, 26.10.2004 07:33 ~ 05.11.2004 02:49)#6139790 !?

referans rakamin soluna yazilan rakam, referans rakamin degerini azaltir; sagina yazilirsa artirir. bir rakamın sağına ya da soluna en fazla üç adet aynı rakam yazılabilir. bir başka deyişle sayilar gruplandirilarak yazilir.
romen rakamıyla yazılmış bir sayıyı okumak için her rakamın sağına soluna bakılır, sayının tamamı bölümler halinde yavaş yavaş gelir.
mcmxcviii sayısını okumaya çalışan bir insanın zihnine kulak verelim:
"hmmm başta 'm' var. demek ki sayı 1000'le başlıyor. sonra 'c' geliyor. dur la! c'den sonra bi m daha var. demek ki 1000'den 100 cikartacaz : 900 bu. sonra ne varmış: 'xc'. 90 yani. en sonuncusu 'viii' 8. zaten bunu biliyoduk. ne etti? 1000+900+90+8=1998. hobaa!"
(kriker, 22.11.2005 18:22 ~ 18:34)#8575417 !?

bana çok çekici gelen sayı yazma aparatı.
(ergi, 16.02.2006 10:28)#9135134 !?

belgesellerin sonlarında yapım yılını belirtmek için kullanılan sayı sistemi.
(jamesjersey, 30.05.2006 15:34)#9613694 !?

bilmeyen insanın hayatını karartan rakam müsveddeleridir. lanet daha çok küçükken başlar:

ilkokulda bu rakamların öğretildiği hafta hasta olup okula gidemeyen minik bünyem; bu devamsızlığın hayatımı etkileyeceğini nerden bilebilirdi? bu rakamların ilk kazığı anadolu lisesi sınavlarında olmuştu. bu rakamlar kullanılarak hazırlanan çeşitli matematik ve tarih sorularında, lan 4 hangisiydi, 5 nasıl yazılıyordu derken çeşitli hatalara imza atmıştım.

ilerleyen tarihlerde, yani ortaokulda, bir matematik sınavında "şu rakam neydi lan" derken gaddar hoca tarafından kopya çektiğim iddasıyla kağıdım elimden alınmıştı. derdimi anlatamadığım gibi bu rakamları bilmediğim için tabiri caizse resmen taşağa alınmıştım.

ama lanet bitmemişti. üniversiteye hazırlanırken ödev olarak verilen testler (bunlar kitapta hep bu rakamlarla yazılmıştı) bambaşka testler çözerek her platformda rezil olmuştum. yabancı dil sınavını komple doğru yapacakken bu rezil rakamları karıştırmam yüzünden bir tane yanlış yapmıştım.

yıllar geçti. sene 2006 oldu ama insanlar hala bu rakamları kullanıyor. artık karşıma çıkmaz derken bu şerefsiz rakamlar beni bir kez daha yaktı. yaklaşık on saat sonra gireceğim sınavda okumam gereken parçalar bu rakamlarla belirtilmiş. ben yine bu rakamları karıştırarak yüzlerce sayfa farklı yerleri okudum. an itibariyle yetişmesi imkansız bir sınav uzayan okul ve kırılan kalpler var. sanırım sabah insanlar sınava giderken ben uykumda romen rakamlarına sövüyor olacağım.
(fiend united, 06.11.2006 23:32)#10236623 !?

bazi bazi romalilarin bile kafalarini karistirmis rakam silsilesi.

zira hakiki roma kalintilari uzerinde 9 niyetiyle viiii yazildigi bizzatihi gorulmustur.
(kal ho naa ho, 11.01.2007 16:16)#10462904 !?

google' da arama kutusuna "çevirilecek sayı in roman numerals" yazarak herhangi bir sayı tabanından dönüştürülebilecek sayılardır. örneğin arama kutusuna "31 in roman numerals" yazmamız bize xxxi sonucunu verecektir:
http://www.google.com/...man+numerals&btng=search
dönüştürülecek sayı ondalık olma zorunda değildir; hex için 0x31, octal için ise 0o31 yazabiliriz.

romen rakamından ondalık sayıya dönüştürme ise arama kutusuna "çevirilecek sayı in decimal" yazarak gerçekleştirilebilir. örneğin arama kutusuna "lxix in decimal" yazmamız bize 69 sonucunu verecektir:
http://www.google.com/...x+in+decimal&btng=search
decimal yerine hex veya octal yazarsak sonucumuzda buna göre değişecektir.
(comptrol, 06.09.2007 19:17 ~ 21:26)

Seri (matematik)

Vikipedi, özgür ansiklopedi

Git ve: kullan, ara

Seri, bir dizi olmak üzere toplamı. Bir seri kısaca $s_n = sum_{i=0}^n a_i$ şeklinde gösterilir. Bir serinin bütün terimleri pozitifse, seriye pozitif terimli seri, negatifse negatif terimli seri; bir pozitif bir negatif ise alterne seri adı verilir. $s 0 = a 0$ , $s 1 = a 0 + a 1$ , $s 2 = a 0 + a 1 + a 2$ , ..., toplamlarına serinin kısmi toplamları, (s₀, s₁, ..., s_n, ...) dizisine de kısmi toplamlar dizisi denir. Bir seri dizisi olarak da tanımlanabilir. Bu dizi yakınsak ise seri de yakınsaktır.

Dizilerde ve serilerde yakınsaklık kavramı çok önemlidir. Bir serinin sonsuz teriminin toplamı belli bir sayı ise, bu seriye yakınsak seri denir. Diğer taraftan bir seri dizisi olduğundan ve genel terimin limiti mevcut olan bir dizi yakınsak olacağından $S = lim_{nrightarrow infty}s_n$ , yani kısmi toplamlar dizisi yakınsak olan seri de yakınsaktır.

Bir serinin yakınsaklığını araştırmak için, S_n toplamının için limitine bakılır. Sonlu bir sayı bulunursa, seri yakınsaktır denir. Mesela $s_n = sum_{i=1}^n frac{1}{n(n+1)}$ serisinde $s_n = frac{1}{1 cdot 2} + frac{1}{2 cdot 3} + ldots + frac{1}{n cdot (n+1)}$ toplamı, $frac{1}{n(n+1)} = frac{1}{n} - frac{1}{n+1}$ yazılacak $frac{n}{n+1}$ bulunur. Limiti alındığında s=1 bulunduğundan verilen seri yakınsaktır denir. Harmonik seri olarak bilinen $sum_{i=1}^n frac{1}{n}$ serisi ise Sn toplamı bulunamadığı için ıraksaktır.

$sum_{i=1}^n (-1)^n = -1+1-1+1-ldots$ serisinin de belli bir toplamı olmadığı için ıraksaktır.

"http://tr.wikipedia.org/wiki/Seri_%28matematik%29"'dan alındı

Totient

Vikipedi, özgür ansiklopedi

Git ve: kullan, ara

φ(n) fonksiyonun ilk 1000 değeri

Totient (kısaca φ, n) sayılar teorisinde, bir tam sayının o sayıdan daha küçük ve o sayı ile asal olan sayılar bütününün boyutudur. Totient, Leonhard Euler tarafından yaratılmıştır.

Örneğin, φ(8) = 4 zira 8 ile dört sayı asaldır: 2, 3, 5 ve 7.

aBir malzemenin üzerinde yük depolayabilme yeteneği yalıtkanlık (dielektrik) sabiti adı verilen katsayı ile ölçülür ve bu katsayı her malzemede farklı değer alır. ile gösterilen dielektrik sabiti aslında boşluğun dielektrik sabiti ve malzemenin bağıl dielektrik sabiti adı verilen iki bileşenden oluşur. Hesaplama kolaylığı açısından her malzemenin dielektrik katsayısı, boşluğun dielektrik katsayısına göre oranlanır ve ortaya çıkan yeni katsayıya bağıl dielektrik (yalıtkanlık) sabiti adı verilir.

Hakkında Bilgi

$varepsilon_0 = 8,854 cdot 10^{-12} frac {F}{m}$

Vakum boşluğunun dielektrik sabiti

Malzemeye özgü bağıl dielektrik sabiti

Yerçekimi sabiti

Vikipedi, özgür ansiklopedi

Git ve: kullan, ara

Gravitasyon sabiti ya da yerçekimi sabiti, evrensel kütleçekim yasasında G harfi ile ifade edilen fiziksel sabittir. Popüler üniteler kullanılarak değeri aşağgıdaki şekillerde gösterilebilir.

$G = left(6.67428 plusmn 0.0007 right) times 10^{-11} mbox{m}^3 mbox{kg}^{-1} mbox{s}^{-2} ,$
$G = left(6.67428 plusmn 0.0007 right) times 10^{-11} mbox{N} mbox{m}^2 mbox{kg}^{-2} ,$
$G = left(6.67428 plusmn 0.0007 right) times 10^{-8} mbox{cm}^3 mbox{g}^{-1} mbox{s}^{-2} ,$
$G approx 4.5 times 10^{-3} {rm pc}, M_odot^{-1} , {rm (km/s)}^2 ,$

Evrensel kütleçekim yasası [değiştir]

Ana madde: Newton'un evrensel çekim kanunu

$F = G frac{m_1 m_2}{r^2}$

Yukarıdaki formüle göre uzaydaki iki cismin (m₁ ve m₂) arasındaki kütle çekim gücü bu iki cismin kütlelerinin çarpımı ile doğru, aralarındaki mesafenin (r) karesi ile ters orantılıdır.

"http://tr.wikipedia.org/wiki/Yer%C3%A7ekimi_sabiti"'dan alındı